【導(dǎo)讀】今天想到一個問題， 這里有兩個都帶有無窮多個間斷點(diǎn)的信號。它們都位于 0,1 之間。?第一個信號是從 0 開始往1前進(jìn)， 每前進(jìn)剩余路程的一半，幅值降低一半。?第二個信號是從 0 往 1 前進(jìn)， 每次都前進(jìn)剩余路程的一半。在前進(jìn)的路程中出現(xiàn)一個寬度為路程長度一半的矩形脈沖信號。?根據(jù)傅里葉變換， 這兩個信號都不滿足 Dirichlet 條件。那么他們傅里葉變換是什么呢？
圖1.1.1 第一種間斷點(diǎn)函數(shù)
圖1.1.2 第二種間斷點(diǎn)信號
二、信號1頻譜
1、頻譜推導(dǎo)
??
首先求取第一個型號的頻譜。?這是它的數(shù)學(xué)表達(dá)式，?對于級數(shù)中每一項(xiàng)，??它都表示一個矩形脈沖，?高度為 2 的 負(fù) n 次方，?起始點(diǎn)為 1 減去 2 的負(fù) n 次方，?終點(diǎn)為 1 減去 2 的負(fù) n 加 1 次方。??寬度為 2 的 負(fù) n 加 1 次方。??寫出該脈沖信號的頻譜。?請注意， 該信號的中心應(yīng)該位于 1 減去3 倍的 2 的 負(fù)n 減1次方。?
圖1.2.1 級數(shù)每一項(xiàng)對應(yīng)的傅里葉變換
對于原信號的頻譜， ??就是需要將級數(shù)每一項(xiàng)的頻譜都加起來，?這樣便得到信號的頻譜了。??
下面是整理后的頻譜公式：
圖1.2.2 信號的傅里葉級數(shù)分解公式
圖2.2 第一個型號的幅度譜
2、驗(yàn)證公式
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這是最終推導(dǎo)出來的信號頻譜公式， 這也是一個級數(shù)。?下面通過離散傅里葉變換來驗(yàn)證一下這個公式。
?
這是通過 Python 編程， 取正負(fù) 10000 之間的頻頻， 采用 10 萬個頻譜數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行反變換。?計算頻譜級數(shù)取 100 級。?這是計算出來的信號波形。可以看到它與給定的信號是一致的。?在 0 點(diǎn)有一個過沖， ?其余其它間斷點(diǎn)都有過沖。?據(jù)此，不僅驗(yàn)證了這個公式的有效性， 而且還可以大致推斷出該公式應(yīng)該是收斂的。
圖1.2.3 第一個信號IFFT的結(jié)果
三、信號2頻譜
1、頻譜推導(dǎo)
??
對于第二個信號， ?它表述成無窮級數(shù)的形式，?其中每一項(xiàng)信號?對應(yīng)的高度都是1，?只是他們的寬度和位置不同。??這里給出了信號所在的區(qū)域的起始位置和其中脈沖的起始和結(jié)束位置。??每一個 脈沖的頻譜對應(yīng)的sinc 函數(shù)。將它們疊加起來形成整個信號的頻譜。
圖1.3.1 單個脈沖的頻譜推導(dǎo)
下面是推導(dǎo)之后的信號波形：圖片圖片
第二個信號的幅度譜
2、驗(yàn)證公式
??
為了驗(yàn)證這個公式的正確性， 依然通過Python編程， 使用離散傅里葉反變換獲得它對應(yīng)的波形。?取 正負(fù) 10000之內(nèi)的頻譜， 采樣 10 萬個數(shù)據(jù)點(diǎn)， ?進(jìn)行傅里葉反變換最終得到信號的是不波形， 這個結(jié)果初步驗(yàn)證了公式的正確性。?關(guān)于這個信號誤差的收斂性，以后再進(jìn)行仿真驗(yàn)證。?左邊是原始信號波形， 右邊是利用有限頻譜合成的信號波形。
圖1.3.2 使用有限帶寬獲得信號的近似波形
本文對于兩個具有無線間斷點(diǎn)信號的頻譜進(jìn)行了推導(dǎo)，?它們都是無限級數(shù)形式，??并使用 離散傅里葉變換進(jìn)行數(shù)值求解，?通過仿真波形驗(yàn)證了頻譜公式的正確性。?關(guān)于它們頻譜的收斂性， 以后再進(jìn)行討論。
圖2.1 信號波形及其頻譜
來源：卓晴，TsinghuaJoking
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