從數(shù)學原理上來說，通用型有源濾波器可以用如下的系統(tǒng)框圖來表示。

圖1：典型的二階系統(tǒng)的信號流圖

上面是一個典型的二階系統(tǒng)的信號流圖，利用Mason 公式可以很容易的得到系統(tǒng)各個通路的傳遞函數(shù)：

上面三個式子分別對應高通、帶通和低通濾波器，如果將u、v、w三路信號加權(quán)疊加則可以組成任意的二階系統(tǒng)。

二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式的標準形式為：

經(jīng)比較可知，大環(huán)路增益b決定二階系統(tǒng)的固有頻率，小環(huán)路的增益a決定系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，也就是決定系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)Q。

狀態(tài)變量濾波器

狀態(tài)變量濾波器也被稱為KHN 濾波器，屬于通用型有源濾波器的一種實現(xiàn)形式，由Kerwin、Huelsman’Newcomb與1967年提出的。電路的基本形式如下。

圖2：反向輸入型KHN 濾波器

轉(zhuǎn)換為信號流圖后如下圖所示。
其中：

列寫系統(tǒng)各個通路的傳遞函數(shù)如下：

將（3）帶入（4）后經(jīng)整理可得：

如果對電阻電容的值做一些限制，公式會變得更簡單。設：

可以看出品質(zhì)因數(shù)Q只依賴于R1與R2的比值。而固有頻率只與RC的乘積有關(guān)。

正向輸入型的KHN濾波器如下圖所示：

圖3：正向輸入型的KHN濾波器

對應的信號流圖如下：

從信號流圖上看，僅僅是x(s) 到 u(s) 之間的增益從 -A1 變?yōu)?A1，其他的地方完全相同。但是由于R3從運放的負輸入端移動到了正輸入端，所以A1和A3的值發(fā)生了很大的變化。

列寫系統(tǒng)各個通路的傳遞函數(shù)如下：

由于A2、A4和A5都沒有變化，所以系統(tǒng)的固有頻率沒有變：

如果還是做一些限制：

則可以簡化為：

正向輸入型和反向輸入型最大的區(qū)別在于通頻帶的增益。下面給出低通濾波器時的幅頻特性曲線。兩邊的曲線一對比他們的區(qū)別就一目了然了。

Tow-Thomas  型二階濾波器

另一種類似的電路形式稱之為 Tow-Thomas 型濾波器。它的基本電路形式如下，其中R3=R6構(gòu)成一個反向器。

圖5：Tow-Thomas 型濾波器

信號流圖與正向輸入型KHN濾波器完全相同。需要說明的是u(s)是電流信號，表示的是流過C1的電流的大小。

但是A1到A5的表達式卻變得簡單的多。

列寫系統(tǒng)各個通路的傳遞函數(shù)也與正向輸入型KHN濾波器完全相同，這里重復如下：

由于u(s)是電流信號，無法直接引出使用，因此也就沒有列出來。將（16）帶入（17）后可得：

品質(zhì)因數(shù)和固有頻率計算如下：

則可以化簡為：

原始信號減去帶通信號就稱為帶阻信號了，因此再增加一個運放就可以實現(xiàn)帶阻型濾波器。

圖6：Tow-Thomas 帶阻型濾波器

這個電路的要點是R1=R2，這樣才能保證原始信號與帶通信號的幅度相同。也就是說要求A1=A3。

簡單的說，這種辦法生成的帶阻濾波器其實就是在虛軸上對應位置添加了零點。

圖7：Tow-Thomas 帶阻型濾波器的零、極點分布

帶阻信號如果再與低通信號相加，就能夠組成低通帶阻型或高通帶阻型。下面是電路原理圖。

圖8：Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器

單刀雙擲開關(guān)打到3的位置時對應低通帶阻濾波器，打到2的位置時對應高通帶阻濾波器。原理可以這樣分析。首先，傳遞函數(shù)可以寫為如下形式：

單刀雙擲開關(guān)打到3的位置時α的值為正，打到2的位置時α的值為負。α 值的變化對應的是系統(tǒng)零點的移動。α大于0 相當于零點互相遠離。

圖9：Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器的零、極點分布

 (高通/低通)帶阻型濾波器的典型頻響如下面兩幅圖所示。

圖10：低通帶阻型濾波器的幅頻響應

圖11：高通帶阻型濾波器的幅頻響應